Pensamiento matemático específico

El estudio de la variación, o, más precisamente, el desarrollo del pensamiento variacional, es cada día más importante en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Sin embargo, comporta una ruptura con modos de pensar que no consideran la variación. Asumir, por ejemplo, que para desarrollarlo basta con aprender fórmulas de áreas y volúmenes o dibujar gráficas cartesianas, etc. es un error; además, si se privilegia una actividad matemática centrada en algoritmos y procedimientos, los estudiantes no desarrollan el lenguaje, las estructuras ni los argumentos necesarios para este tipo de pensamiento. El pensamiento y el lenguaje variacional constituyen una línea de investigación en el seno de la «teoría socioepistemológica de la matemática educativa», teoría con la cual diseñamos y analizamos aquí un trabajo con estudiantes en formación inicial de pedagogía en matemáticas.

Este capítulo promueve la reflexión sobre la importancia de trabajar el pensamiento variacional en niños y jóvenes, lo cual, aparte de su interés intrínseco analítico, permite fomentar el desarrollo de habilidades del siglo xxi, tales como la metacognición. Se presentan antecedentes de diverso tipo en torno a la problemática que visualizamos, como también acerca del pensamiento variacional, a modo de sugerir la complejidad que enfrentan los profesores en esta materia; y como una manera de ilustrar cómo comenzar a enfrentar esa complejidad, se utilizan actividades escolares ad hoc extraídas de la web, con las cuales se pueden construir problemas abiertos y promover el desarrollo de la metacognición.

El propósito del presente capítulo es caracterizar cómo ha evolucionado la manera de operacionalizar el marco teórico de Los Modos de Pensamiento en las distintas investigaciones realizadas en el postgrado del Instituto de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, tanto en aquellas que se adhieren al modelo original de Sierpinska, como aquellas que proponen una variedad de esta teoría. Para alcanzar el objetivo planteado, se propone un Estudio de Casos instrumental, en el que el Caso de Estudio está conformado por Tesis de Magister y Doctorado en Didáctica de la Matemática que han sido realizadas desde la perspectiva de la teoría Los Modos de Pensamiento entre los años 2011 y 2022 en el IMA de la PUCV. Como técnica de estudio, se opta por un análisis de contenido que considera la definición de criterios para la lectura y observación de los documentos y que emergen de una revisión previa de artículos de Sierpinska en los que se desarrolla la teoría y una metodología de investigación inicial de Los Modos de Pensamiento.

El escenario anterior pondrá en evidencia que si bien este marco teórico emerge para dar respuestas a problemáticas del álgebra lineal, en estos diez años ha sido adaptado a nuevos contextos de estudio, disciplinarios y también interdisciplinarios, que han permitido ir perfeccionando e integrando técnicas metodológicas para la obtención de resultados que guían el diseño de propuestas de enseñanza que promueven la comprensión profunda de los Fragmentos de la Matemática a través del desarrollo de Los Modos de Pensamiento.

Presentamos un estudio cualitativo en el que identificamos los procesos del pensamiento matemático en estudiantes de un curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias cuando trabajan en la modelización matemática de un problema de mezclas. Describimos la modelización matemática como un ciclo de cuatro fases (problema en el mundo real, modelo teórico, modelo matemático y solución), el cual además cumple el rol de herramienta didáctica, pedagógica y de análisis. El pensamiento matemático avanzado se asume como una actividad dinámica en la cual se presta interés a los procesos de particularizar, conjeturar, justificar y generalizar. La investigación que se presenta en este capítulo se apoya en tres fases metodológicas principales: a) diseño de actividades para la enseñanza de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, las cuales se abordan haciendo uso de conceptos propios del tema y de conceptos de física que al mismo tiempo brindan al estudiante la posibilidad de desarrollar los diferentes procesos del pensamiento matemático; b) construcción de indicadores para analizar los procesos del pensamiento matemático que emergen cuando los estudiantes dan sentido matemático a una situación problema del mundo real; y c) interpretación de datos. Los resultados muestran que las actividades propuestas permiten desarrollar todos los procesos (particularizar, conjeturar, justificar y generalizar) del pensamiento matemático en los participantes. Así mismo, los resultados revelan que las tareas basadas en el ciclo de modelización matemática contribuyen a favorecer el aprendizaje de conceptos y habilidades relativas a ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

En el presente capítulo se exhiben los resultados de una investigación cuyo objetivo es construir significados relativos al concepto de límite de una función de variable real usando artefactos digitales, a partir de conocimientos relacionados con el pensamiento infinitesimal. A raíz de lo anterior, hemos integrado el software GeoGebra haciendo énfasis en las perspectivas de localidad, orientando al estudiante a tomar decisiones conceptuales usando el zoom para construir el concepto de límite. La presente investigación se desarrolló con seis estudiantes de último año de secundaria (16-17 años) en un contexto online debido a la pandemia por Covid-19. Las producciones de los estudiantes han sido analizadas partir de las herramientas teóricas que nos provee la «teoría de los espacios de trabajo matemático». Nuestros resultados nos permiten dar cuenta del desarrollo del pensamiento infinitesimal en los estudiantes implicados en este estudio y cómo las oportunidades que brinda la tecnología contribuyen a construir el concepto de límite, concepto esencial del cálculo diferencial.

En este capítulo se compara el pensamiento matemático infantil evidenciado en pandemia por estudiantes que cursaron prekínder en modalidad a distancia (n = 114 niños, con una media de 5 años y 7 meses) con estudiantes que lo cursaron en modalidad presencial (n = 73, con una media de 5 años y 2 meses). Los datos se obtienen del test TEMA-3, que examina los conocimientos matemáticos informales y formales en el ámbito numérico de educación infantil. Los resultados de la aplicación del test se desagregan por edad, ahondando en los resultados de 10 ítems del test, asociados al rango etario de 5 a 6 años. Los hallazgos muestran que, si bien tanto el grupo presencial como el grupo a distancia obtienen resultados similares, salvo diferencias asociadas al carácter formal e informal del pensamiento matemático, ambos grupos obtienen resultados por debajo de lo establecido en los objetivos curriculares nacionales y en las orientaciones internacionales para la educación infantil. Las recomendaciones instan a replantear las prácticas de aula y a profundizar en la investigación sobre la efectividad de las prácticas relacionadas con el desarrollo del pensamiento matemático en torno al número en educación infantil.

El razonamiento informal sobre las muestras y su variabilidad puede proporcionar una ruta para desarrollar el pensamiento estadístico en relación con la inferencia estadística. En las últimas décadas, se ha consolidado el enfoque de la inferencia estadística informal que promueve la enseñanza de contenidos asociados con la incertidumbre antes del uso de técnicas formales, caracterizando este enfoque y el razonamiento que lo sostiene por componentes como: generalizar más allá de los datos, expresar la incertidumbre en dichas generalizaciones, emplear lenguaje probabilístico, reconocer el agregado e integrar el contexto.

Con el propósito de estudiar estructuralmente el razonamiento inferencial informal desde sus componentes, se analizan los elementos diferenciadores de los tipos de razonamiento propuestos por Peirce y la estructura argumental propuesta por Toulmin. Sugerimos que la perspectiva combinada Peirce-Toulmin permite analizar los razonamientos de los estudiantes que siguen la estructura de un razonamiento inferencial informal de tipo inductivo. Para ilustrar cómo esta perspectiva puede emplearse, se analizan los argumentos de estudiantes 4.o en una lección que involucra un contexto lúdico de no equiprobabilidad. Todo ello permitió reconocer que: (1) los razonamientos empleados por los estudiantes son inductivos; (2) el análisis estructural distingue cómo los estudiantes detectan regularidades en los resultados de las muestras, a fin de declarar una propiedad generalizada de dichos resultados a manera de inferencia estadística informal; y (3) la necesidad de incorporar calificadores modales en las justificaciones, para construir una generalización que se extienda más allá de los datos en contextos de incertidumbre.

En el contexto del estudio del pensamiento matemático, este capítulo se centra en el disenso de la expresión sentido numérico en la literatura asociada a las ciencias cognitivas y las ciencias sociales con foco en la disciplina de la educación matemática. Primero se buscó en bases de datos globales las expresiones «number sense» y «systematic review literatura», de lo que se obtuvieron 16 documentos; después de filtrarlos para seleccionar solo revisiones de literatura sobre el sentido numérico, se consideraron dos documentos. Finalmente, tras reportar una síntesis de los antecedentes, métodos y resultados de ambas revisiones, se discute el estado de la cuestión y se dan orientaciones para los docentes. El estudio evidencia que, si bien en educación matemática existe menor consenso sobre el significado de la expresión sentido numérico, ello es consistente con la complejidad del término número en matemáticas. Este capítulo contribuye a la representación del sentido numérico como término polisémico, que inicialmente es intuitivo y en edad preescolar incorpora habilidades observables, para complejizarse en educación primaria y constituirse en un constructo teórico multifacético que engloba la comprensión de sistemas de símbolos y la inclinación a usar propiedades de los números y las operaciones de manera flexible.